Bài 2 (trang 125 SGK Hình học 11): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi G và H tương ứng là trọng tâm và trực tâm của tam giác, các điểm A^', B^',C^' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

(a) Tìm phép vị tự F biến A, B, C tương tứng thành A^', B^',C^'

(b) Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.

(c) Tìm ảnh của O qua phép vị tự F

(d) Gọi A^'', B^'',C^'' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH; A₁, B₁,C₁ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các tia AH, BH, CH với đường tròn (O); A^'₁, B^'₁,C^'₁ tương ứng là chân các đường cao đi qua A, B, C. Tìm ảnh của A, B, C,A₁, B₁,C₁ qua phép vị tự tâm H tỉ số 1/2.

(e) Chứng minh chín điểm A^', B^',C^',A^'', B^'',C^'',A^'₁, B^'₁,C^'₁ cùng thuộc một đường tròn (đường tròn này gọi là đường tròn Ơ-le của tam giác ABC)

Bài giải:

d) Gọi A”; B”; C” lần lượt là trung điểm của AH; BH; CH

Ta có:

Vậy A”; B”; C” là ảnh của A, B, C trong phép vị tự  .

Ta có:

 theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng HA1, HB1, HC1

Nên:

Như vậy, theo thứ tự là ảnh của các điểm A1, B1, C1 trong phép vị tự  .

(e) Chứng minh A^'', B^'',C^'',A^'₁, B^'₁,C^'₁ cùng thuộc đường tròn (O₁). Sau đó chứng minh A^'B^'C^' cũng thuộc đường tròn (O₁) . Chẳng hạn , chứng minh O₁A^'₁ = O₁A^'