Bài 5 (trang 80 SGK Hình học 10): Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ sau đây:

Bài giải

Cách 1: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình:

a) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên (d₁) cắt (d₂).

b) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên hai đường thẳng trên song song.

c) Xét hệ phương trình

Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên hai đường thẳng trùng nhau.

Cách 2: Dựa vào vị trí tương đối của các vectơ chỉ phương (hoặc vectơ pháp tuyến).

a) d₁ nhận  là một vectơ pháp tuyến

d₂ nhận  là 1 vtpt

Nhận thấy  không cùng phương nên d₁ cắt d₂.

b) d₁ nhận  là 1 vtpt ⇒ d₁ nhận  là 1 vtcp

d₂ nhận  là 1 vtcp.

Nhận thấy  cùng phương

⇒ d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm M(5;3) có:

M(5; 3) ∈ d₂

12.5 – 6.3 + 10 = 52 ≠ 0 nên M(5; 3) ∉ d₁.

Vậy d₁ và d₂ song song.

c) d₁ nhận  là 1 vtpt ⇒ d₁ nhận  là 1 vtcp.

d₂ nhận  là 1 vtcp.

Nhận thấy  cùng phương

⇒ d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Xét M(–6; 6) ∈ d₂; M(–6; 6) ∈ d₁ (Vì 8.(–6) + 10.6 – 12 = 0)

⇒ d₁ và d₂ trùng nhau.