Bài 6 (trang 62-63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a) |3x - 2| = 2x + 3 ;

b) |2x - 1| = |-5x - 2| ;

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1.

Bài giải:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

Tập xác định: D = R.

+ Nếu   thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5.

Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện nên x = 5 là một nghiệm của phương trình (3).

+ Nếu   thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó 

Giá trị   là một nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và 

b) |2x - 1| = |-5x - 2| (2)

Tập xác định D = R.

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm   và x = –1.

+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.

Khi đó pt (3)

+ Xét x < –1, khi đó x + 1 < 0 nên |x + 1| = –x – 1.

Khi đó pt (3)

(không thỏa mãn điều kiện x < –1).

Vậy phương trình có hai nghiệm là 

d) |2x + 5| = x² + 5x + 1 (4)

Tập xác định: D = R.

+ Xét 2x + 5 ≥ 0 ⇔   , khi đó |2x + 5| = 2x + 5

Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x² + 5x + 1

⇔ x² + 3x – 4 = 0

⇔ (x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)

+ Xét 2x + 5 < 0 ⇔   , khi đó |2x + 5| = –2x – 5.

Khi đó pt (4) ⇔ –2x – 5 = x² + 5x + 1

⇔ x² + 7x + 6 = 0

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0

⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.

Kiến thức áp dụng

+ Để giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối chúng ta cần làm mất dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia trường hợp (trường hợp A(x) âm thì |A(x)| = –A(x), trường hợp A(x) dương thì |A(x)| = A(x)) hoặc bình phương cả hai vế.

+ Ở bước bình phương cả hai vế, ta dùng dấu tương đương khi biết rõ biểu thức ở cả hai vế cùng âm hoặc cùng dương.

Trong trường hợp chưa biết dấu của một trong hai vế hoặc cả hai vế, ta phải dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm.

+ Phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| khi giải bằng phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối ta sẽ có 4 trường hợp:

     ● |f(x)| = g(x) ⇔ f(x) = g(x) hoặc –f(x) = g(x)

     ● |f(x)| = – g(x) ⇔ f(x) = –g(x) hoặc –f(x) = –g(x)

4 trường hợp trên ta có thể viết gọn thành hai trường hợp f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).

Vậy ta có |f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).