Bài 3 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Bài giải:

Giả sử có hai cấp số cộng (u_n) với công sai d₁ và (v_n) với công sai d₂.

Xét dãy (a_n) với a_n = u_n + v_n

Ta có: a_{n + 1} – a_n = (u_{n + 1} + v_{n + 1}) – (u_n + v_n)

= (u_n + d₁ + v_n + d₂) – (u_n + v_n)

= d₁ + d₂ = const

⇒(a_n) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

Ví dụ:

CSC (u_n): 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; …. có công sai d₁ = 3 ;

CSC (v_n): 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 14 ; 16 … có công sai d₂ = 2.

⇒ (a_n): 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; … có công sai d = 5.