Bài 4 (trang 53 SGK Hình học 11): Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G_A, G_B, G_C, G_D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng qui.

Bài giải:

Gọi N là trung điểm CD.

+ G_A là trọng tâm ΔBCD

⇒ G_A ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AG_A ⊂ (ANB)

G_B là trọng tâm ΔACD

⇒ G_B ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BG_B ⊂ (ANB).

Trong (ANB): AG_A không song song với BG_B

⇒ AG_A cắt BG_B tại O

+ Chứng minh tương tự: BG_B cắt CG_C; CG_C cắt AG_A.

+ CG_C không nằm trong (ANB) ⇒ AG_A; BG_B; CG_C không đồng phẳng(áp dụng kết quả bài 3).

⇒ AG_A; BG_B; CG_C đồng quy tại O

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AG_A; BG_B; DGD đồng quy tại O

Vậy AG_A; BG_B ; CG_C; DGD đồng quy tại O (đpcm).