Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): Trong các dãy số (u_n) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Bài giải:

a. u_n = 2n² – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 1 ≥ 2.1² – 1 = 1.

⇒ u_n ≥ 1

⇒ dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b. Ta có :  ∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn dưới

 ∀ n ≥ 1.

⇒ (u_n) bị chặn trên.

Vậy (u_n) là dãy bị chặn.

+ Ta có : 2n² – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

⇒  ∀ n ∈ N*.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

+ 2n² – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒  ∀ n ∈ N*

⇒ (u_n) bị chặn trên.

Vậy (u_n) bị chặn.

d. u_n = sin n + cos n.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.