Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, u_{n+ 1} = 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Bài giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u₁ = 2;

u₂ = 2u₁ – 1 = 3;

u₃ = 2u₂ – 1 = 5;

u₄ = 2u₃ – 1 = 9;

u₅ = 2u₄ – 1 = 17

b. Chứng minh u_n = 2^{n – 1} + 1 (1)

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 2^{1 - 1} + 1 = 2 (đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 2^k-1 + 1 (1)

Ta chứng minh: u_k+1 = 2^k + 1. Thật vậy, ta có:

⇒ u_k+1 = 2.u_k – 1 = 2(2^k-1 + 1) – 1 = 2.2^{k – 1} + 2 – 1 = 2^k + 1

⇒ (1) cũng đúng với n = k + 1 .

Vậy u_n = 2^{n – 1} + 1 với mọi n ∈ N.