Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

Bài giải:

⇒ u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ N

⇒ (u_n) là dãy tăng.

+ Xét tính bị chặn:

(u_n) là dãy tăng

⇒ u₁ = 2 < u₂ < u₃ < …< u_n ∀n ∈ N*

⇒ u_n ≥ 2 ∀n ∈ N*

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

(u_n) không bị chặn trên.

⇒ u_n không bị chặn.

Suy ra: Với n chẵn ⇒ n – 1 lẻ ⇒ (-1)^{n – 1} = -1 ⇒ u_n < 0

Với n lẻ ⇒ n – 1 chẵn ⇒ (-1)^{n – 1} = 1 ⇒ u_n > 0.

⇒ u₁ > u₂ < u₃ > u₄ < u₅ > u₆ …

⇒ (u_n) không tăng không giảm.

+ Xét tính bị chặn :

Với ∀ n ∈ N:

⇒ -1 ≤ u_n ≤ 1.

Vậy (u_n) bị chặn.

+ Xét tính tăng giảm.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ N.

⇒ (u_n) là dãy số giảm.

+ Xét tính bị chặn.

u_n > 0 với mọi n.

⇒ (u_n) bị chặn dưới.

u_n ≤ u₁ = 2 - 1 với mọi n

⇒ (u_n) bị chặn trên.

⇒ (u_n) bị chặn.