Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Bài giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh A_{k + 1} chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

         = k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

         = (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k ⋮ 3

Mà 3k² + 9k + 9 = 3.(k² + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ A_{k + 1} ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 3n² + 5n

      = n.(n² + 3n + 5)

      = n.(n² + 3n + 2 + 3)

      = n.(n² + 3n + 2) + 3n

      = n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A_{k + 1} chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

         = 4.4^k + 15k + 15 – 1

         = 4.(4^k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

         = 4.(4^k +15k- 1) – 45k + 18

         = 4. A_k + (- 45k + 18)

Ta có: A_k⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên A_{k + 1} ⋮ 9

Vậy 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1)

         = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

         = (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

         = U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ U_{k + 1} ⋮ 6.

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 11n

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.