Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a.3ⁿ > 3n + 1

b.2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Bài giải:

a. Chứng minh: 3ⁿ > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3^k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3^{k+ 1} > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3^{k + 1} = 3.3^k > 3.(3k + 1) (Vì 3^k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b. 2^{n + 1} > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2^k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2^{k + 2} = 2.2^{k + 1}

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.