Bài 7 (trang 146 SGK Giải tích 12): Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.

b) Tìm giao điểm của (C ) và đồ thị hàm số y=x²+1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật tròn xoay thu được khi hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C ) và các đường thẳng y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox.

Bài giải:

a) Hàm số 

- Tập xác định: D = R\{2}

- Sự biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận: 

⇒ y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

b. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong :

Phương trình (*) tương đương : 2 = 2x² + 2 – x³ – x

⇔ x³ – 2x² + x = 0  ( đều thỏa mãn khác 2).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường cong là A(0 ; 1) và B(1 ; 2)

+ Phương trình tiếp tuyến tại A là

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm B(1 ; 2) là :

y = y’(1). (x – 1) + 2 = 2(x – 1)+ 2

Hay y = 2x